Завод изготовил сверх плана 160 автомобилей 3 4, Решение задачи #56536
Ответ: 94, л. За сколько минут проезжает круг гонщик A? Известно, что при выплавке металл не теряется, а только уменьшается часть примесей.
Предположим, что первый фермер продал товар на x р. Тогда, согласно условию, x y 2 3 , откуда y 3 2 x. Вместе фермеры продали товар на 60 р. Ответ: 24 р. Числители дробей пропорциональны числам 1, 2, 5, а знаменатели соответственно пропорциональны числам 1, 3, 7. Среднее арифметическое дробей равно Найти эти дроби. Пусть x, 2x, 5x — числители дробей, а y, 3y, 7y — соответствующие знаменатели. Тогда искомые дроби имеют вид x y, 2x 3y , 5x 7y.
Итак, x y 4 7 — первая дробь, 2x 3y 8 21 — вторая дробь, 5x 7y 20 49 — третья дробь. Количество машин, выпущенных за второй, третий и четвертый кварталы, оказалось пропорциональным числам 15, 16 и Пусть x, y, u, v — количество машин, выпущенных соответственно за первый, второй, третий и четвертый квартал.
Найдем связь между этими величинами, приняв за A годовой план выпуска машин. Используя условия задачи, имеем x 0,25A, y u v 15 16 18, y 1,08x 0,27A. Однотипные детали обрабатывают на двух станках. Сколько деталей обработано за смену каждым станком, если первый работал 6 ч, а второй — 8 ч, причем оба станка вместе обработали деталей?
Пусть x — число деталей, обрабатываемых вторым станком в течение часа. Ответ: деталей; деталей.
Вкладчик взял из банка 1 4 своего вклада, затем 4 9 остатка и еще р. Какова была первоначальная величина вклада?
Обозначим величину вклада через x р. После того как вкладчик взял 1 4 своего вклада, то есть 1 4 x, в банке осталось 3 4 x р.
Наконец, после того как он взял еще р. Получаем уравнение 5 12 x 0,15x, откуда находим x 24 Ответ: x 24 р. Обозначим второе число через x. Решив это уравнение, получим x ; тогда 1,4x , 1,1x Ответ: ; ; Зарплаты рабочего за октябрь и ноябрь относятся как 1,5 4 3 , а за ноябрь и декабрь — как 2 8 3.
За декабрь он получил на р. Найти размер премии. Обозначим зарплаты рабочего за октябрь, ноябрь и декабрь соответственно через x, y и z. Из пропорции 1 следует, что y 8 9 x, а из пропорции 2 — что z 4 3 y 32 27 x.
Далее последовательно находим y р. Найти общее количество рабочих на предприятии. Пусть x — количество рабочих на предприятии.
Остальные рабочие, а это x 0,35x 0,65x, — мужчины. Из полученного уравнения находим x Ответ: рабочих. Вклад, помещенный в банк на два года, достиг 20 р. Так как последняя величина равна 20 , то 1, x 20 , откуда x 20 Ответ: 20 р. Сплав из меди и цинка массой в 24 кг при погружении в воду потерял 28 9 кг своей массы. Пусть x кг — масса меди в сплаве; тогда 24 x кг — масса цинка. Ответ: 17 кг меди; 7 кг цинка.
Масса оставшегося куска равна 45,2 кг. Найти массу отрезанной части. Ответ: ,2 кг. Пчелы перерабатывают цветочный нектар в мед, освобождая его от значительной части воды. Исследования показали, что нектар обычно Сколько килограммов нектара приходится перерабатывать пчелам для получения 3 кг меда?
Пусть x кг — количество нектара, которое перерабатывают пчелы. Ответ: 8,3 кг. В сухих травах содержится та же сухая масса. Остальная часть 22 кг 19,2 кг 2,8 кг приходится на воду; она составляет долю, равную 2,8 22 0, Ответ: 0, Двое рабочих вместе за одну смену изготовили детали. Сколько деталей изготавливали рабочие за смену до и после повышения производительности?
Пусть x — первоначальное количество деталей, изготовленных за смену первым рабочим; тогда второй рабочий изготавливал за смену x деталей. Следовательно, до повышения производительности труда первый рабочий изготавливал 80 деталей, а второй — 64 детали. Ответ: 80 и 64 детали; 92 и 80 деталей.
В двух бидонах содержится 90 л молока. Сколько литров молока было в каждом бидоне? Предположим, что в первом бидоне было x л молока. Так как после этого в обоих бидонах содержится равное количество молока, то приходим к уравнению 0,9x 90 0,9x, то есть x 50, а 90 x Ответ: 50 л; 40 л.
В магазин привезли сахар и сахарный песок в мешках, всего 9,6 т. Сколько привезли сахара и сколько сахарного песка? Пусть x — количество мешков с сахаром. Тогда количество мешков с сахарным песком равно 1,25x. Пусть y кг — масса мешка с сахарным песком.
Тогда масса мешка с сахаром равна 0,75y кг. Ответ: 3,6 т; 6 т. Бригада должна изготовить некоторое количество деталей. После этого бригаде осталось выполнить еще 3 20 работы.
Сколько деталей должна была изготовить бригада? Обозначим искомое число деталей через x. Отсюда находим x Ответ: деталей. Баржа с грузом в т была разгружена в три дня, причем в первый и третий дни было выгружено 2 3 всего груза. Во второй день было выгружено меньше, чем в первый, а в третий меньше, чем во второй; при этом разность между числом процентов уменьшения выгрузки в третий день по отношению к выгрузке второго дня и числом процентов уменьшения выгрузки во второй день по отношению к выгрузке первого дня была равна 5.
Определить, сколько было выгружено в каждый день и число процентов уменьшения выгрузки во второй и третий дни. Во второй день выгружено т т т. Это уравнение имеет два корня: x1 ; x2 Второй корень не годится, так как по условию выгрузка с каждым днем уменьшалась, в то время как при x выгрузка составляла бы: в первый день т; во второй т; в третий т.
Предприятие запланировало за два года увеличить объем продукции в 2,89 раза. Каким в процентах должен быть годовой прирост продукции, если он одинаков для каждого года? Число 51,2 трижды увеличивали на одно и то же количество процентов, а затем трижды уменьшали на то же самое количество процентов. В результате получили 21,6. На сколько процентов увеличивали, а затем уменьшали данное число?
Извлекая кубический корень из обеих частей равенства, получим 8 1 x 2 6; x 2 1 4 ; x 1 2. Значит, x Три бригады рабочих получили вместе 40 р. Сколько получила каждая бригада? Общий заработок трех бригад, равный 40 р. Вкладчик на свои сбережения через год получил р. Добавив р. По истечении года вклад вместе с процентами составил р.
Какая сумма была положена первоначально и какие годовые проценты дает банк? Тогда первоначально было положено 15 x р. Решив его, находим x 5, откуда 15 x В трех сосудах налита вода. Если 1 3 воды из первого сосуда перелить во второй, затем 1 4 воды, оказавшейся во втором, перелить в третий и, наконец, 1 10 воды, оказавшейся в третьем, перелить в первый, то в каждом сосуде окажется по 9 л. Сколько воды было в каждом сосуде? Каждое из выражений последнего столбца по условию равно 9.
Решив эту систему уравнений, получим ответ. Ответ: 12 л; 8 л; 7 л. В начале года вкладчик положил 5 6 своих денег в один банк, а остальные — в другой. К концу года сумма на этих вкладах выросла до р. Было подсчитано, что если бы с самого начала 5 6 денег вкладчик положил во второй Определить величину вклада по истечении двух лет, предполагая, что вкладчик положил все деньги в первый банк.
Обозначим через x р. Это означает, что если вкладчик положил в первый банк A р. Аналогично, если вкладчик положил во второй банк B р. Отсюда получаем 11b 12a, то есть b 12a Подставив это выражение в равенство 1 , находим ay , а тогда by Замена b 12a 11 дает: a 1,1; b 1,2; y Задачи для самостоятельного решения 1.
Какое количество серебра в этом сплаве? Он реализовал товар стоимостью р. На сколько повысилась зарплата продавца? Сколько воды было в ведре, если в бочке первоначально было 51,5 л воды? Каков годовой план, если для его выполнения предприятию за IV квартал необходимо выпустить ед.
В двух мешках находится кг муки. Сколько килограммов муки в каждом мешке? При продаже товара за р. Какова себестоимость товара? Найти первоначальную цену товара. В трех ящиках содержится 64,2 кг сахара. Сколько килограммов сахара в каждом ящике?
Цена книги снижалась дважды на одно и то же число процентов. На сколько процентов снижалась цена? Сколько учеников было в классе? За 3 кг одного продукта и 5 кг другого заплатили р. Определить цену 1 кг каждого продукта. Из какого количества свежих грибов можно получить кг сухих?
Сколько килограммов сметаны можно получить из кг молока? Вкладчику на его сбережения банк начислил р. По истечении года снова были начислены проценты, и тогда вклад вместе с процентами составил 23 р. Какая сумма была положена в банк первоначально и сколько процентов начисляет банк? Одна сторона прямоугольника в 2,5 раза меньше другой. Рабочий день уменьшился с 8 до 7 ч. В магазин завезли товар на 30 р. Найти выручку магазина после полной продажи всего товара. Через некоторое время этот вклад был взят вместе с полученными на него процентными деньгами, что составило р.
Каков был вклад, помещенный в банк, и какое время он там находился? Известно, что вклад, находящийся в банке с начала года, возрастает к концу года на определенное число процентов свое для каждого банка. В начале года 5 6 некоторого количества денег положили К концу года сумма этих вкладов стала равной ден. Было подсчитано, что если бы первоначально 5 6 исходного количества денег положили во второй банк, а оставшуюся часть — в первый, то по истечении одного года сумма вкладов в эти банки составила бы ден.
В предположении, что исходное количество денег первоначально целиком было положено в первый банк, определить величину вклада по истечении двух лет. Ответы 1. Из кг.
Предположим, что m г некоторого вещества растворяется в M г воды. Вместо воды можно брать любую жидкость, в которой растворяется то или иное вещество. С математической точки зрения растворы, смеси, сплавы не отличаются друг от друга. Поэтому доля или процентное содержание вещества в растворе, смеси, сплаве определяются по одному правилу. Основные допущения при решении задач на растворы, смеси, сплавы: а все смеси однородны; б при слиянии двух растворов получается смесь, масса которой равна сумме масс соответствующих растворов.
Аналогично определяются объемные концентрации. Определить концентрацию нового раствора. Сколько граммов каждого раствора было взято? Отсюда x 75, тогда x Ответ: 75 г; г. В двух сплавах меди и цинка отношение меди к цинку равно 4 3 и 2 3 соответственно.
После совместной переплавки кг первого сплава, кг второго и некоторой массы чистой меди получили сплав, в котором меди на 20 кг больше, чем цинка. Найти массу нового сплава. Обозначим через x массу чистой меди, добавленную в новый сплав. Один бак содержит смесь кислоты с водой в отношении 4 7, а другой — в отношении 3 8. Сколько килограммов смеси нужно взять из каждого бака, чтобы получить смесь в количестве кг и чтобы кислота и вода в ней были бы в отношении 71 ?
В первом баке содержится 11 частей смеси, 4 из которых составляет кислота, то есть доля кислоты равна 4 Во втором баке доля кислоты равна 3 Отсюда x 60,5 и x 49,5. Ответ: 60,5 кг; 49,5 кг. Определить процентное содержание меди в первом сплаве. Имеются два сплава золота с серебром. В первом количество этих металлов относится как 2 3, во втором — как 3 7. Сколько нужно взять от каждого сплава, чтобы получить 8 кг нового сплава, в котором золото и серебро были бы в отношении 5 11?
В x кг первого сплава содержится 2 5 x кг золота и 3 5 x кг серебра. Ответ: 1 кг первого сплава и 7 кг второго. Некоторый сплав состоит из двух металлов, входящих в отношении 1 2, а другой содержит те же металлы в отношении 2 3. Из скольких частей обоих сплавов можно получить третий сплав, содержащий те же металлы в отношении 17 27? Пусть третий сплав содержит x частей первого и y частей второго сплава, то есть на x кг первого сплава приходится y кг второго сплава.
Ответ: 9 частей первого сплава и 35 частей второго сплава. Найти первоначальную массу сплава. Пусть x г — первоначальная масса меди в сплаве, а y г — первоначальная масса всего сплава. Решив эту систему, находим y Ответ: г. Имеются два слитка сплавов золота с серебром. Процентное содержание золота в первом слитке в 2,5 раза больше, чем во втором.
Пусть в 1 г второго слитка содержится x г золота; тогда в 1 г первого слитка содержится 2,5x г золота. Если сплавить по 1 г из каждого слитка, то получится слиток массой в 2 г, содержащий 3,5x г золота. Итак, в 1 г второго слитка содержится 0,2 г золота, а в 1 г первого слитка содержится 0,5 г золота.
Пусть y г — масса первого слитка, а z г — масса второго слитка. Тогда в первом слитке имеется 0,5y г золота, в во втором — 0,2z г золота. Из этого равенства находим, что y 2z. Это означает, что первый слиток в 2 раза тяжелее второго. Ответ: в 2 раза. Имеются два слитка сплавов золота c медью. В первом слитке отношение золота к меди равно 1 2, а во втором — 2 3. Если сплавить 1 3 первого слитка с 5 6 второго, то в полученном слитке окажется столько золота, сколько было меди в первом слитке, а если сплавить 2 3 первого слитка с 1 2 второго, то в полученном слитке окажется меди на 1 кг больше, чем было золота во втором слитке.
Сколько золота было в каждом слитке? Пусть в первом слитке было x кг золота, тогда в нем содержалось 2x кг меди. Пусть во втором слитке было y кг золота, тогда в нем содержалось 3 2 y кг меди. Решив систему уравнений 1 , 2 , находим x 1,2, y 2,4. Ответ: 1,2 кг; 2,4 кг. Определить массы сплавов до переплавки, если известно, что в первом сплаве было 4 кг серебра, а во втором — 8 кг.
Пусть x кг — масса первого сплава, а y кг — масса второго. Ответ: масса первого сплава 8 кг, масса второго 32 кг. Если из сплава олова, меди и цинка отделить кусок массой 20 г и сплавить его с 2 г олова, то в полученном сплаве масса меди будет равна массе олова.
Если же отделить от первоначального сплава кусок массой 30 г и сплавить его с 9 г цинка, то в этом новом сплаве масса олова будет равна массе цинка. Определить процентный состав первоначального сплава. Пусть x и y — соответственно процентное содержание олова и меди в первоначальном сплаве.
Тогда x y — процентное содержание цинка в первоначальном сплаве. Масса олова в 20 г первоначального сплава равна 20 x г.
Масса меди в 20 г первоначального сплава равна 20 y г. Масса олова в 30 г первоначального сплава равна 30 x г. От двух кусков сплавов с различным процентным содержанием меди, массы которых равны m кг и n кг, отрезано по куску равной массы. Каждый из отрезанных кусков сплавлен с остатком другого куска, после чего процентное содержание меди в обоих сплавах стало одинаково.
Какова масса каждого из отрезанных кусков? I способ. Пусть масса каждого из отрезанных кусков равна x кг. Для краткости будем называть первый сплав массой m кг сплавом A, а второй массой n кг — сплавом B. По условию процентное содержание меди в обоих слитках одинаково. Это возможно лишь в том случае, когда в этих слитках количества сплава A и сплава B пропорциональны.
II способ. Пусть u кг — масса меди в 1 кг сплава A, v кг — масса меди в 1 кг сплава B. По условию сплавы A и B имеют различные процентные содержания меди, то есть величина u v в уравнении 2 не может быть равна нулю.
Из сосуда, наполненного медом, отлили 2 кг, а к оставшемуся меду долили 2 кг воды. После перемешивания отлили 2 кг смеси и долили 2 кг воды. Наконец, перемешав еще раз, снова отлили 2 кг смеси и долили 2 кг воды. После этих операций воды в сосуде стало на 3 кг больше, чем меда.
Определить массу меда, находившегося в сосуде с самого начала. Предположим, что начальная масса меда равна p кг. Полная масса смеси остается прежней, то есть p кг, а доля меда в ней равна p 2 p. Условию задачи удовлетворяет только корень p 4. Ответ: 4 кг. Из сосуда, наполненного чистым глицерином, отлили 1 л, а затем долили 1 л воды.
После перемешивания отлили 1 л смеси и долили 1 л воды. Наконец, снова после перемешивания отлили 1 л смеси и долили 1 л воды. В результате этих операций количество воды в сосуде оказалось в 7 раз больше по объему, чем оставшегося в нем глицерина.
Сколько литров глицерина и воды оказалось в сосуде после всех операций? Пусть x л — объем сосуда. Объем чистого глицерина в сосуде перед началом операций также равен x л.
Проследим за изменением количества глицерина и воды после каждой операции. Уравнение 2 имеет единственный корень x 2. Итак, объем сосуда равен 2 л. Ответ: 0,25 л; 1,75 л. При решении этой задачи мы специально следили за объемом глицерина и воды в отдельности после каждой операции.
Это должно тренировать и закреплять соответствующие математические модели отдельных бытовых действий. Найти первоначальную концентрацию соли в растворе. Пусть x г — масса первоначального раствора. Пусть к первоначальному сплаву добавили x кг олова. Решив это уравнение, найдем x 1,5. Ответ: 1,5 кг. Ответ: 50 9 г. Имеется сплав золота с серебром, содержащий 80 г золота.
Сколько серебра первоначально было в сплаве? Имеются два сплава золота с медью — й пробы и й пробы. Их сплавляют с 2 кг чистого золота и получают новый сплав й пробы, масса которого равна 25 кг. Каковы массы первоначальных сплавов?
Пусть M — общая масса некоторого сплава, m — масса «благородного» металла, t — проба. Тогда справедлива формула t m M.
Предположим, что взято x кг одного сплава и y кг другого. Из системы уравнений 2 , 3 находим x 15, y 8. Ответ: 15 кг; 8 кг.
К сплаву меди со свинцом, имеющему массу 5 кг, добавили 1 кг меди. В новом сплаве меди оказалось в 2 раза больше, чем свинца. Определить процентное содержание меди в первоначальном сплаве. Пусть x кг — количество меди в первоначальном сплаве. Предположим, что из данной массы следует выпарить x кг воды. Сплав меди с серебром содержит серебра на г больше, чем меди. Определить массу данного сплава и процентное содержание серебра в нем.
К этому сплаву добавили кусок серебра массой 1 3 x. Согласно условию, получаем уравнение 4 3 x 7 3 x 0,, откуда x Найти массу каждого из исходных растворов. Ответ: 1 кг; 2 кг. Из сосуда вместимостью 54 л, наполненного кислотой, вылили несколько литров и долили сосуд водой, затем снова вылили столько же литров смеси. Оставшаяся в сосуде смесь содержит 24 л чистой кислоты. Сколько кислоты вылили в первый раз? Значит, 1 л смеси содержит 54 x 54 л кислоты концентрация раствора.
Во второй раз также вылили x л смеси. В этом количестве содержится 54 x 54 x л кислоты. С другой стороны, первоначально в сосуде было 54 л кислоты, а после выливания осталось 24 л, то есть вылили 30 л кислоты. Решив его, находим x1 90, x2 Значение x 90 не удовлетворяет условию задачи. Ответ: 18 л.
Сосуд вместимостью 20 л наполнен спиртом. Из него вылили некоторое количество спирта в другой, равный ему, и, дополнив остальную часть второго сосуда водой, затем дополнили этой смесью первый сосуд.
Далее из первого сосуда отлили 62 3 л смеси во второй, после чего в обоих сосудах количество спирта стало одинаковым. Сколько спирта перелили первоначально из первого сосуда во второй?
Пусть x л — количество спирта, которое первоначально перелили из первого сосуда во второй; дополнив второй сосуд водой, будем иметь во втором сосуде x 20 л спирта на каждый литр смеси. Затем из первого сосуда во второй отлили 62 3 л смеси, что составляет 62 3 20 1 3 всего количества этой смеси. Ответ: 10 л. Из этого сосуда выпустили некоторое количество воздуха и впустили такое же количество азота, затем снова выпустили такое же, как и в первый раз, количество смеси и опять дополнили таким же количеством азота.
Сколько литров выпускали каждый раз из сосуда? Пусть в первый раз из сосуда выпустили x л воздуха и впустили такое же количество азота. Ответ: 2 л. Значит, нужно добавить 22 12 10 кг олова. Ответ: 10 кг. Сколько творога получается из кг молока? Ответ: 80 кг. На сколько процентов масса первого слитка больше массы второго? Пусть первый слиток содержит x г меди, а второй — y г меди. В сосуде содержится 20 мл спирта и мл воды.
Из сосуда отлили половину его содержимого, после чего в оставшуюся часть долили некоторое количество воды и вдвое меньшее количество спирта.
Пусть в раствор было добавлено x мл спирта. Тогда воды добавили 2x мл. Ответ: 10 мл. Из бака вместимостью 64 л, наполненного спиртом, вылили часть спирта и долили водой. Затем из бака вылили столько же литров смеси; тогда в баке осталось 49 л чистого спирта. Сколько спирта вылили в первый раз и сколько во второй? Задача составлена в предположении, что объем смеси равен сумме объемов спирта и воды.
На самом деле он несколько меньше. Ответ: в первый раз вылили 8 л; во второй раз 7 л. Из этой системы находим x 40, y По смыслу задачи 0 x , 0 y Найденные значения x и y этим условиям удовлетворяют.
Из сосуда, вмещающего 54 кг кислоты, отлили некоторое ее количество и долили сосуд водой. Затем, тщательно перемешав, отлили еще такое же количество смеси и снова долили водой. Сколько кислоты отливали каждый раз из сосуда, если доля кислоты в последнем растворе равна 4 9?
Пусть x кг — количество отлитой в первый раз кислоты. Получаем уравнение 54 x 54 2 4 9 , то есть 54 x 54 2 3 , откуда x Итак, в первый раз отлили 18 кг чистой кислоты. Ответ: 18 кг; 12 кг. Для решения задачи составим следующую схему рис. Ответ: 3 л из первого сосуда; 3 л из второго сосуда.
Проценты содержания по массе спирта в трех растворах образуют геометрическую прогрессию. Сколько процентов спирта содержит каждый раствор? Это означает, что в 1 г первого раствора содержится x г спирта, а в 1 г второго и третьего раствора соответственно y г и z г спирта. Так как по условию числа x, y и z образуют геометрическую прогрессию, то y2 xz.
В двух одинаковых сосудах объемом по 30 л содержится всего 30 л спирта. Первый сосуд долили сверху водой и полученной смесью долили второй сосуд. Затем из второго сосуда отлили в первый 12 л новой смеси. Сколько спирта было первоначально в каждом сосуде, если после всех переливаний во втором сосуде оказалось на 2 л спирта меньше, чем в первом?
Ответ: 20 л; 10 л. Из полного бака, содержащего кг кислоты, отлили a кг и долили бак водой. После тщательного перемешивания отлили a кг раствора и снова долили бак водой. После того как такая процедура была проделана 6 раз, раствор в баке стал содержать 64 кг кислоты. Найти величину a, а также количество чистой кислоты, которое отливали каждый раз. Для наглядности проиллюстрируем изменения содержимого бака, которые происходят в результате данных операций рис.
При решении задачи важно правильно определить вид отдельных однотипных выражений — количество кислоты и долю кислоты в растворах. Опишем математически первые две операции, о которых идет речь в задаче. По условию эта величина равна 64 кг. В сосуде было 10 л соляной кислоты. Часть кислоты отлили и дополнили сосуд таким же количеством воды. Затем снова отлили такое же количество смеси и дополнили сосуд таким же количеством воды.
Два раствора, из которых первый содержал г серной кислоты, а второй — г серной кислоты, соединили вместе и получили 10 кг нового раствора. Определить массу каждого из растворов, если Какое количество металла можно получить из 24 т руды? Известно, что при выплавке металл не теряется, а только уменьшается часть примесей.
Одно ведро содержит смесь спирта с водой в отношении 2 3, а другое — в отношении 3 7. Сколько килограммов нужно взять из каждого ведра, чтобы получить 12 кг смеси, в которой спирт и вода были бы в отношении 3 5? Сколько процентов примесей содержится в сырье первого сорта? Пчелы, перерабатывая цветочный нектар в мед, освобождают его от значительной части воды. Сплавили два сорта чугуна с различным процентным содержанием хрома.
Если одного сорта взять в 5 раз больше другого, то процентное содержание хрома в сплаве вдвое превысит процентное содержание хрома в меньшей из сплавляемых частей. Найти процентное содержание хрома в каждом сорте чугуна. Масса двух кусков латуни составляет 60 кг. Первый кусок содержит 10 кг чистой меди, второй — 8 кг. Найти концентрацию раствора в каждой из бутылей. Каков процент примесей в руде?
От двух кусков сплавов массой в 12 и 8 кг с различным процентным содержанием меди отрезали поровну. Каждый из отрезанных кусков сплавили с остатком другого, после чего процентное содержание меди в новых сплавах стало одинаковым. Сколько граммов первого сплава нужно при Имеется сплав серебра с медью.
Найти массу и пробу данного сплава, если после переплавки его с 3 кг чистого серебра получается сплав й пробы, а после переплавки его с 2 кг сплава й пробы получается сплав й пробы. В расплаве массой кг содержатся медь и олово.
Из этой смеси отлили часть, по массе превышающую на кг массу меди в расплаве, и добавили количество олова, равное по массе отлитой части расплава. После этого отлили столько же получившейся смеси. В результате последней операции количество меди в расплаве уменьшилось в 6,25 раза по сравнению с ее содержанием в исходном расплаве.
Определить процентное содержание олова в исходном расплаве. Из сосуда, до краев наполненного чистым глицерином, отлили 2 л, а к оставшемуся глицерину долили 2 л воды. После перемешивания отлили 2 л смеси и долили 2 л воды. В результате этих операций объем воды в сосуде стал на 3 л больше объема оставшегося в нем глицерина.
Сколько глицерина и сколько воды оказалось в сосуде в результате проведенных операций? Имеются 6 л раствора A и 4 л раствора B с разными концентрациями соли. Сначала от обоих растворов отливают по одинаковому количеству жидкости, а затем часть, отлитую от раствора A, вливают в раствор B, а часть, отлитую от раствора B, вливают в раствор A. В результате концентрации соли во вновь полученных растворах оказываются одинаковыми. Определить количество жидкости, отлитое от каждого раствора.
Зависимость между этими величинами выражается известными формулами s vt; v s t ; t s v 1 указанные величины должны быть заданы в одной системе единиц; например, если путь измеряется в километрах, а время — в часах, то скорость должна измеряться в километрах в час.
План решения этого типа задач обычно сводится к следующему: а выбирают одну из величин, которая по условию задачи является неизвестной, и обозначают ее через x, или y, или z и т. Наглядная интерпретация задачи в виде чертежа часто очень помогает анализировать задачу и составить уравнение. Рекомендуется делать чертеж к задаче независимо от ее сложности. Это воспитывает и тренирует способность к рассуждениям, снимает напряженность при анализе. Основные допущения при решении задач на движение: а движение считают равномерным, то есть происходящим с постоянной скоростью если нет специальных оговорок ; б скорость считают величиной положительной; в всякое изменение направление движения и переходы на новый режим движения считают происходящими мгновенно.
Отдохнув 2 ч, он отравился дальше с прежней скоростью. На каком расстоянии от места старта мотоциклист догонит велосипедиста? Выполним схематический чертеж рис. На рис. Чтобы преодолеть расстояние AC, мотоциклист затратил на 2 ч меньше, чем велосипедист. Пусть AC s. Велосипедист проехал это расстояние за время t1 s v1 s 16 ч, а мотоциклист — за время t2 s v2 s 56 ч. Из условия следует, что t1 t2 2, а это приводит к уравнению s 16 s 56 2.
Отсюда s 44,8. Ответ: 44,8 км. Велосипедист проезжает 5 км за такое же время, за которое пешеход проходит 2 км. Определить также скорости пешехода и велосипедиста. Искомое время в часах обозначим через t.
Из условия задачи вытекает уравнение 5 t 2 t 6. Их этих равенств находим v 4, t 0,5. При этом на автомобиле турист ехал на 15 мин меньше, чем на катере. Каковы скорости автомобиля и катера, если расстояние, которое проехал турист, равно км? Время, в течение которого турист ехал на автомобиле, равно x ч , а время путешествия на катере равно 60 x 20 ч. Из пункта A в пункт B отправились три машины друг за другом с интервалом в 1 ч. Найти скорость третьей машины, если известно, что она догнала первые две машины одновременно.
На нем отмечены лишь пункты отправления A, назначения B и пункт C, в котором третья машина догнала и первую, и вторую точка B при решении задачи никакой роли не играет. Обозначим через t ч время, за которое первая машина доехала до пункта C.
Найти первоначальную скорость поезда. Из условия следует, что если бы поезд после остановки в пункте B рис. Расстояние между станциями A и B равно км. Найти первоначальную скорость поезда, если известно, что оставшийся до B путь был на 23 км длиннее пути, пройденного до задержки, и что на прохождение пути после задержки было затрачено на 15 мин больше, чем на прохождение пути до нее.
Условию задачи отвечает рис. Мотоциклисту надо было проехать расстояние в 30 км. Определить скорость, с которой ехал мотоциклист. Фактически мотоциклист затратил 30 v ч, а собирался быть в пути 30 v 1 ч. По условию 30 v 1 30 v 3 60 , откуда находим v1 25, v2 24 не подходит по смыслу задачи.
Дорога из A в B идет в гору и равна км. Определить скорость автомобиля по ровному участку, если расстояние от A до B и обратно он проехал за 1 ч 50 мин. Имеем 11x2 x 0, откуда x1 и x2 65 11 не подходит по смыслу задачи. Автобус проходит расстояние между пунктами A и B по расписанию за 5 ч.
Найти скорость движения автобуса по расписанию и расстояние между пунктами A и B, если известно, что это расстояние превышает км. Тогда AB 5v км. Расстояние в 56 км от пункта A автобус преодолел за 56 v ч. Сумма указанных отрезков времени равна 5 1 6 ч 29 6 ч автобус стоял 10 мин 1 6 ч. Отсюда v1 42 или v2 Старший брат на мотоцикле, а младший на велосипеде совершили двухчасовую безостановочную поездку. При этом мотоциклист проезжал каждый километр на 4 мин быстрее, чем велосипедист.
Сколько Пусть s1 — путь, пройденный старшим братом за 2 ч. Тогда: а s2 s1 40 — путь, пройденный младшим братом за 2 ч; б v1 s1 2 — скорость старшего брата; в v2 s1 40 2 — скорость младшего брата; г 1 v1 — время, за которое старший брат проедет 1 км; д 1 v2 — время, за которое младший брат проедет 1 км.
Согласно условию, составим уравнение 1 v2 1 v1 1 15 , или 1 s1 40 2 1 s1 2 1 15 , или 2 s1 40 2 s1 1 Решив это уравнение, находим s1 60 второй корень s 20 не подходит по смыслу задачи. Ответ: 60 км; 20 км. Поезд проходит мимо платформы за 32 с. За сколько секунд поезд проедет мимо неподвижного наблюдателя, если длина поезда равна длине платформы? Изобразим схематически условия задачи на рис. В начальный момент движения электровоз B находится в начале платформы C рис.
За это время точка B или A, или Поэтому, согласно формуле s vt, имеет место равенство 2l 32v, или l 16v. С другой стороны, точка B электровоз , двигаясь со скоростью v, за время t пройдет мимо неподвижного наблюдателя путь l, то есть l vt. Ответ: за 16 с. Решение данной задачи показывает, что число введенных неизвестных может быть избыточным, то есть больше числа уравнений. В этом случае при условии корректности условия хотя бы одна из переменных сократится, то есть она несущественна для решения задачи.
Дорога от A до D длиной в 23 км идет сначала в гору, затем — по ровному участку, а потом — под гору. Пешеход, двигаясь из A в D, прошел весь путь за 5 ч 48 мин, а обратно, из D в A, — за 6 ч 12 мин.
Определить длину дороги по ровному участку. Обозначим через x, y и z длины участков дороги в км соответственно в гору, по ровному месту и под гору при движении от A к D. Ответ: 8 км. Расстояние между двумя населенными пунктами равно 18 км. Велосипедист проезжает это расстояние за 3 ч 41 мин. Дорога между этими пунктами идет сначала в гору, потом — по ровному участку, а затем — под гору.
Воспользуемся схематическим чертежом см. Сумма этих отрезков времени равна 3 ч 41 мин 60 ч. Полученная система 3 не позволяет однозначно определить x и z. Обозначим через s расстояние в км по ровному участку. Тогда сумма расстояний под гору и в гору равна 18 s км. Так как велосипедист едет из A в D и обратно, то каждый участок пути он проезжает дважды. Тогда справедливы следующие утверждения. При движении друг за другом расстояние между ними может как увеличиваться, так и уменьшаться со скоростью v1 v2 , причем сближаются они или удаляются друг от друга, зависит от того, какое тело находится впереди: с меньшей или с большей скоростью.
Расстояния s1 и s2, пройденные этими телами за одно и то же время t, пропорциональны их скоростям, то есть отношение расстояний равно отношению скоростей: s1 s2 v1 v2. В 5 ч утра со станции A вышел почтовый поезд по направлению к станции B, отстоящей от A на км. В 8 ч утра со станции B по направлению к A вышел пассажирский поезд, который проходил в час на 15 км больше, чем почтовый.
Когда встретились поезда, если их встреча произошла в середине пути AB? Пусть поезда встретились через x ч после выхода пассажирского поезда. До места встречи каждый поезд прошел 2 км. Ответ: в 5 ч дня. Из пункта A в пункт B отправились три велосипедиста.
Какова скорость третьего велосипедиста, который отправился на 0,5 ч позже второго, если известно, что он догнал первого через 3 ч после того как догнал второго? Выразим время, которое понадобилось третьему велосипедисту, чтобы догнать первого и второго велосипедистов.
Аналогично, третий велосипедист догнал второго через 5 x 10 ч. Таким образом, получаем уравнение 12 x 12 5 x 10 3, откуда находим x1 15, x2 22 3. По смыслу задачи скорость третьего велосипедиста должна быть больше, чем скорости первого и второго велосипедистов, то есть x Пусть s м — искомая длина встречного поезда.
Путь, пройденный встречным поездом относительно пассажира, равен длине встречного поезда. Ответ: м. Два автомобиля выехали одновременно навстречу друг другу из A в B и из B в A.
После встречи один из них был в пути еще 2 ч, а другой — 9 8 ч. Определить скорости автомобилей, если расстояние между A и B равно км. Воспользуемся чертежом рис. Получаем уравнение 9y 8x 2x y , или 9y2 16x2 , откуда 3y 4x. Решив ее, получим x 60, y Из пункта A в пункт B сначала выехал грузовик, а через 1 ч — легковой автомобиль. В пункт B автомобили прибыли одновременно.
Если бы из пунктов A и B машины выехали одновременно навстречу друг другу, то встреча произошла бы через 1 ч 12 мин после их выезда. За какое время проедет расстояние от A до B грузовик? Пусть грузовик проезжает расстояние от A до B за x ч. По смыслу задачи x 1. Более того, ясно, что грузовик пройдет расстояние AB за время, большее, чем 6 5 ч, то есть x 6 5. Из найденных значений x этому условию удовлетворяет только x 3. Ответ: за 3 ч.
Два поезда — товарный длиной в м и пассажирский длиной в м — двигались навстречу друг другу по двум параллельным путям. Машинист пассажирского поезда заметил товарный поезд, когда он находился от него на расстоянии м; через 28 с после этого поезда встретились. Определить скорость каждого поезда, если известно, что товарный поезд проходит мимо светофора на 35 с медленнее пассажирского. За 28 с товарный поезд прошел 28x м , а пассажирский 28y м.
Товарный поезд проезжает мимо светофора за x с , а пассажирский — за y с. Согласно условию, запишем еще одно уравнение: x y Решив систему уравнений 1 , 2 , находим x 10, y Два пешехода идут навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 30 км. Если первый пешеход выйдет на 2 ч раньше второго, то встреча произойдет через 2,5 ч после выхода второго пешехода.
Если же второй пешеход выйдет на 2 ч раньше первого, то они встретятся через 3 ч после выхода первого пешехода. На машину погрузили а ящиков с виноградом по 20 кг в каждом и b ящиков с персиками по 12 кг в каждом. Завод изготовил сверх плана автомобилей. Сколько автомобилей было отправлено в рисоводческий совхоз?
В саду яблонь было в 3 раза больше, чем слив. После того, как 14 яблонь вырубили и посадили 10 слив, деревьев обоих видов в саду стало поровну. Сколько яблонь и сколько слив было в саду. Один килограмм масла стоит m рублей, а один килограмм творога n рублей. Составьте выражение для нахождения стоимости 3 кг масла и 2 кг творога вместе. Критерии оценивания:. Педагогическое сообщество УРОК. Бесплатные всероссийские конкурсы.
Бесплатные сертификаты за публикации. Нужна помощь? Инструкции для новых участников. Бесплатная онлайн-школа для классов. Аттестация Скидки на «Аттестационный пакет» Публикация в печатном сборнике Вебинары, мастер-классы Рецензия на публикацию Конференции педагогов Квалификационные тесты Портфолио к аттестации. Конкурсы Все конкурсы для педагогов Конкурсы для детей Правила участия в конкурсах Правила набора в жюри. Обсуждения Свежие обсуждения Популярные обсуждения Самые активные участники.
Методические разработки Все материалы для педагогов Уроки для педагогов Презентации к урокам Тесты для уроков Детское творчество Портфолио к аттестации.
